פיסיקה 2ממ

הרצאה 6 – אנליזה ווקטורית

אנליזה ווקטורית

פונקציה ווקטורית היא פונקציה מהצורה .

הגדרה - הדיברגנץ

יהי נפח סופי V, ויהי המשטח הסוגר עליו S. נחלק את הנפח לנפחים קטנים  ואת המשטח למשטחים הסוגרים על הנפחים  בהתאמה.

הווקטור  הוא ווקטור שגודלו כגודל השטח  וכיוונו ככיוון האנך כלפי חוץ לאותו אלמנט שטח.

הדיברגנץ נקרא גם "צפיפות השטף של השדה". הדיברגנץ מוגדר בכל נקודה במחרב ש- מוגדרת בו.

משפט גאוס (המתמטי)

יהי נפח סופי V, ויהי המשטח הסוגר עליו S, אזי:

כאשר  שדה ווקטורי כלשהו.

משמעות הביטוי  היא השטף של הווקטור  דרך המשטח הסגור S.

חזרה – משפט גאוס (הפיסיקלי)

יהי נפח סופי V, ויהי המשטח הסוגר עליו S, אזי: , כאשר  הוא השדה החשמלי.

מסקנות מחוק גאוס

החוק מקשר למעשה בין הדיברגנץ למקורות השדה. אם , אזי אין מקורות, ואם  יש מקורות. חוסר מקורות: האם יש מקורות לשדה בנפח שאנו כולאים, לא האם יש מקורות לשדה בכלל.

האופרטור נבלה

תזכורת: האופרטור נבלה מוגדר כך:

הצגת הדיברגנץ בקורדינטות קרטזיות

בקורדינטות קרטזיות, מתקיים:

נוכל לרשום את הדיברגנץ גם בצורה הבאה:

צורת כתיבה זו נכונה לא רק לגבי מערכת צירים קרטזיות, אם כי במערכות צירים אחרות, האופרטור נבלה מוגדר בצורה שונה.

משפט סטוקס, סירקולציה, curl

הגדרה

צפיפות (משטחית) של הסירקולציה בכיוון הווקטור :

משפט סטוקס:

S הינו משטח חלק ופתוח ששפתו C.

כיוון ההליכה על C: נלך על מסלול כך שנראה את המשטח מצד שמאל. כיוון הראש הוא כיוון הנורמל (כלל הבורג – סיבוב בורג ימני).

curl בקורדינטות קרטזיות:

מסקנות ממשפט סטוקס

ראשית, נסכם את המשפט בצורה הבאה:

כמו כן: curl שווה אפס אם השדה החשמלי משמר, ומספר שונה מאפס אם לא.