פיסיקה 2ממ

הרצאה 4 – פוטנציאל ואנרגיה של התפלגות מטענים

פוטנציאל של התפלגות מטענים

טענה

עקרון הסופרפוזיציה תקף לגבי פוטנציאלים.

אם יש לנו מספר מקורות, וכאשר אנו מייחסים פוטנציאל אפס לנקודות שמרחקן מהמקור הוא אינסופי, אזי פונקצית הפוטנציאל הכללית תהיה הסכימה של פונקציות הפוטנציאל של המקורות השונים.

טענה

 הוא הנפח אותו אנו רוצים לסכום.  זהו אלמנט נפח.  הינה צפיפות המטען בכל נקודה.

דוגמאות

א.      הפוטנציאל הנובע מקליפה כדורית ברדיוס R, הטעונה בצורה אחידה, בעלת מטען ככלי Q.

            על מנת להזיז מטען בתוך הקליפה, אין צורך להשקיע עבודה. נבחר  ונקבל:

            נשים לב כי למרות שהשדה בתוך הקליפה הוא 0, הפוטנציאל אינו אפס, אלא קבוע.

ב.       הפוטנציאל הנובע מכדור ברדיוס R, הטעון בצורה אחידה במטען כולל Q.

            צפיפות המטען הינה .

            נבחר . מתקיים:

            נביט ב- כאשר :

            נסכם:

ג.        הפוטנציאל הנובע מתיל ישר אינסופי הטעון בצפיפות מטען אורכית אחידה .

הבעייתיות במקרה זה: איננו יכולים למקם את  באינסוף. לפיכך, נמקם את האפס של

הפוטנציאל בנקודה כרצוננו, שנסמנה .

ד.       הפוטנציאל הנובע מטבלה דקה, מישורית, אינסופית, הטעונה בצפיפות מטען אחידה .

ה.      הפוטנציאל הנובע משתי טבלאות מישוריות טעונות :

מתחת ומעל הלוחות פוטנציאל אחיד. נבחר  ונבחר , ואז:

האנרגיה האצורה במערכת מטענים

א. זוג מטענים נקודתיים

ב. 3 מטענים נקודתיים, N מטענים נקודתיים

נוסיף מטען נקודתי שלישי למערכת - . האנרגיה האצורה במערכת: .

באופן כללי: האנרגיה האצורה במערכת של מטענים נקודתיים  הינה:

נשים לב לפיתוח הבא של הביטוי:

הביטוי החשוב הוא החלק השלישי של הפיתוח, בו אנו מסוגלים להשתמש בחישובים מעשיים.

אנרגיה של התפלגות מטען רציפה בעלת ממדים סופיים

תהי פונקציית הצפיפות של התפלגות המטען -  בעלת ממדים סופיים.

האנרגיה תוגדר כך:

דוגמא א'

האנרגיה האצורה במערכת  מטענים אינסופית היא .

דוגמא ב'

האנרגיה האצורה בקליפה כדורית, בעלת רדיוס R, הטעונה בצורה אחידה בצפיפות משטחית .

מתקיים:

כדי לחשב את האנרגיה – נחשוב על טענה הדרגתית של הקליפה, כך שבכל רגע, המטען על הקליפה, q, מקיים . ברגע מסויים, כאשר יש על הקליפה מטען q, נביא תוספת מטען -.

הפוטנציאל בנקודה  כאשר הקליפה טעונה ב-q הוא .

העבודה כנגד מטען : .

דוגמא ג'

האנרגיה האצורה בכדור מלא בעל רדיוס R, וצפיפות מטען נפחית אחידה . מתקיים: ,

ניקח כדור קטן מלא, בתוך הכדור הגדול, בעל רדיוס . מטען הכדור הינו .

הפוטנציאל שהכדור משרה במרחב: . נוסיף כעת אלמנט מטען לכדור.