פיסיקה 2ממ

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

הרצאה 11 – מעגלים, חוק ג'אול, חוקי קירכהוף, תרגילים

מוליכים המקיימים את חוק אוהם

מוליך בצורת גליל ישר, שטח חתך ובעל אורך L.

נשתמש בחוק אום: דרך שטח החתך A.

דוגמא

נרצה לחשב את ההתנגדות של כדור מוליך מלא. המוליכות הסגולית של הכדור היא , והרדיוס שלו הוא .

מתקיים: .

ניקח קליפה כדורית דקה בעלת רדיוס r ונחשב את ההתנגדות שלה.

כעת dr הוא למעשה המרחק שעברנו כדי לחצות את הקליפה, ו- זהו השטח שלה.

נבצע אינטגרל על מנת לקבל את כל הקליפה:

מודל Drude

המוליך מורכב מ- סוגים של נושאי מטען .

כמו כן המוליך מכיל מולקולות נטרליות שבהן מתנגשים נושאי המטען.

משוואות התנועה לנושע מטען אחד מסוג j:

מהירות רגעית:

תזכורת:

הוא הממוצע של גודל פיסיקלי b:

ממוצע המהירויות:

נגדיר t=0 רגע ההתנגשות האחרונה של נושא המטען i, ונגדיר משך הזמן עד ההתנגשות הבאה.

הזמן הממוצע בין התנגשויות עבור סוג j:

ולכן אנו מקבלים כי:

כאשר זוהי למעשה תכונה של החומר. נסמן: , ואז יתקיים כי:

חוק Joule

אנרגיה הופכת לחום בזמן הזרימה במוליך.

הספק הכוח החשמלי הפועל על נושא מטען אחד:

כללית: (כוח כפול מהירות).

הספק (חום) ליחידת נפח:

יחידות:

הספק החוק בקטע תיל מוליך:

נגדים

סימון ההתנגדות = נ?ג?ד

חיבור נגדים

חיבור טורי:
מתקיים:
חיבור במקביל:
מתקיים:

מעגלי זרם - חוקי קירהוף

חוק המעגל:
חוק הצומת:

מעגל זרם המכיל מקור כא"מ (כוח אלקטרו-מניע), קבל ונגד

א. טעינת קבל

המטען שעל הקבל, הזרם במעגל.

בזמן מתקיים: וכמו כן מתקיים כי .

ברגע המפסק נסגר.

נפתור את המשוואה ההומוגנית:

פתרון פרטי של המשוואה האי הומוגנית:

סיכום:

טעינת קבל:

RC נקרא קבוע הזמן של המעגל (ל-RC מימדים של זמן).

ב. פריקת קבל

ב- מתקיים: .

באותו רגע המפסק נסגר.

מתקיים:

העבודה המבוצעת בזמן טעינת הקבל על ידי מקור הכא"מ:

האנרגיה העצורה בקבל בסוף הטעינה:

חוק Joule

נגד עם אלקטרודות בעלות צורה סימטרית

א. נגד כדורי

בין האלקטרודות תווך מוליך.

נתון:

כאשר קבוע כלשהו.

תכונת מוליך המקיים את חוק אום היא , לכן:

ידוע כי . נמצא את V בהתאם לנתוני השאלה:

נשים לב כי ניתן להעלים את מהמשוואה:

הזרם הוא למעשה צפיפות הזרם כפול השטח, לכן:

קיבלנו מידע חשוב: הזרם אחיד ואינו תלוי ב-r!!

מחוק אום ידוע לנו כי . נוכל להשתמש בכך על מנת למצוא את התנגדות הקבל (נגד) הכדורי:

אם נטען את הקליפות הכדוריות ב- המטען יזרום דרך ההתנגדות הכדורית: , כאשר מתקיים כי .

תרגילים

שאלה

קליפה כדורית דקה מאוד ומבודדת שמרכזה בראשית הצירים, בעלת רדיוס R טעונה בצפיפות משטחית המשתנה עם הזווית (ביחס לציר z) לפי . מהי העבודה שיש להשקיע כדי להעביר מטען נקודתי q מהנקודה אל הנקודה ? (שתי הנקודות הינן מחוץ לקליפה).

תשובה

חשוב לשים לב כי שתי הנקודות הן מחוץ לקליפה.

לפי חוק גאוס, מספיק שאנו במרחק מהקליפה, אנו יכולים להתייחס אליה כאל מטען נקודתי.

נראה שתי גישות לפתרון.

גישה אחת היא הליכה במסלול כזה הנראה בשרטוט:

אנו יכולים להתייחס אל הקליפה כאל מטען נקודתי.

המטען הכולל בתוך הקליפה הוא אפס. לפי גאוס .

שימו לב: ע"פ חוק גאוס ניתן להמיר את הבעיה, כאשר דנים מחוץ לקליפת הכדור ב- $plot:\[dr\]$ לפחות, לבעיה של מטען נקודתי שלא משנה מה ערכו לצורך הדיון (נניח $plot:\[q\]$ ). השדה של הבעיה החדשה הוא $plot:\[\bar E = \frac{q}{{{r^2}}}\hat r\]$ והפוטנציאל $plot:\[V = \frac{q}{r}\]$ . אנו יכולים לדון רק בנקודות שמחוץ למעטפת הכדור. הסימטריה היא רדיאלית שכן אנו דנים במטען נקודתי. במסלול שתואר עוברים לאורך כל הדרך בפוטנציאל זהה ועל כן העבודה אפס.

נוכל גם לבצע את המסלול הבא בין הנקודות:

בכל נקודה בתוך המעטפת נוכל להגדיר מעטפת גאוסית, אשר המטען בתוכה הוא אפס. לכן גם השדה בכל נקודה בתוך הקליפה הינו אפס, ולכן הפוטנציאל קבוע.

שוב, בחוץ פוטנציאל קבוע, ולכן הפרש הפוטנציאלים הוא אפס.

הסבר נוסף: נצייר את התפלגות המטען ונראה שהתפלגות המטען כפי שהיא נראית משתי הנקודות היא זהה, כלומר, מתאמי סימטריה נוכל לומר שהפוטנציאל בשתי הנקודות זהה, ולכן העבודה שיש להשקיע על מנת להעביר את המטען בין הנקודות היא אפס.

שאלה

נתונות שלוש קליפות כדוריות מוליכות קונצנטריות בעלות הרדיוסים R, 2R, 3R, הטעונות במטענים

q, -2q, 3q בהתאמה. מחברים את הקליפה החיצונית 3R אל הקליפה במרחק 2R בחוט מוליך.

כמה מטען מצטבר על הקליפה ברדיוס 2R לאחר החיבור?

תשובה

כאשר אנו מחברים את הקליפה במרחק 2R עם הקליפה במרחק 3R אנו יכולים להתייחס אליהן כאל קליפה אחת.

המטען q שעל הקליפה ברדיוס R מאלץ מטען –q על הקליפה במרחק 2R. כל שאר המטענים בורחים אל הקליפה השלישית, סה"כ מצטברים על הקליפה הנמצאת במרחק 3R – 2q מטענים.