פיסיקה 2ממ

תרגול 3

הגדרה

הלפלסיאן יוגדר כך:

תרגיל

נתון גוף מבודד טעון, ומסביבו מוליך לא טעון.

נרצה למצוא את השדה ואת הפוטנציאל ב- (1), (2) וב-(3).

כללים

1. משוואת פואסון: .
2. הפוטנציאל הינו פונקציה רציפה.
3. השדה על פני מוליך: .
4. השדה בתוך מוליך: 0.
5. פוטנציאל על פני מוליך הוא קבוע.
6. עבור פוטנציאל רדיאלי:

7. עבור פוטנציאל רדיאלי:

הערות על הכללים

לגבי 1, לכאורה הפוטנציאל בנקודה מסויימת תלוי רק במטען באותה נקודה. עובדה זו אכן נכונה, ומתקבלת מפיתוח המשוואה.

לגבי 3, נשים לב שמדובר על השדה השקול בכל נקודה, ולא רק בשדה הנובע מהמטען בנקודה זו.

עבור (1)

:

נעשה אינטגרל לשני האגפים:

חשוב לא לפספס את הוספת הקבוע.

כעת אנו יכולים לדעת מהו :

מהסימטריה ידוע כי , ולכן מתקיים כי

(נשים לב כי האפס במכנה זוהי שאיפה ל-0, ולא אפס ממש – פיסיקאים...).

עבור (2)

:

כאשר  הינו קבוע.

עבור (3)

:

מכיוון ש-, מתקיים כי .

ידוע כי הפוטנציאל באינסוף הוא 0, ולכן:

השדה:

נרצה כעת להיפטר מהקבועים.

נשתמש ברציפות הפוטנציאל:

1. .
2. 

השדה על פני המוליך הינו , והוא שווה לשדה השקול בנקודה. השדה הינו . ומכאן:

כמו כן:

כעת נחלץ את הקבועים מהמשוואות.

שאלה נוספת: נרצה כעת לחשב את האנרגיה הכללית האצורה במערכת:

תרגילים

תרגיל 1

תרגיל 2

קליפה כדורית מוליכה בעלת רדיוס  טעונה במטען Q. במרחק d ממנה נמצאת קליפה כדורית לא טעונה בעלת רדיוס . נתון כי .

מחברים את שתי הקליפות בחוט מוליך דק.

נדרש לחשב את הפוטנציאל של שתי הקליפות.

המטען מתפצל לשני מטענים, , כאשר אנו מחברים את הקליפות בחוט.

מתקיים:

הפוטנציאל: