פיסיקה 2ממ

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

הרצאה 20 – השראה אלקטרומגנטית, חוק פארדיי, חוק לנץ

השראה אלקטרומגנטית

הקדמה

ראינו כי ו- הם חלקים של אותו גודל פיסיקלי. מבחינה היסטורית, הקשר בין ל- נמדד לראשונה על ידי פארדיי, כאשר עשה ניסויים בהם הזיז סלילים שזרם בהם זרם חשמלי, וראה שכתוצאה מכך הושרה זרם במעגלים בהם לא זרם זרם. תופעה זו מכונה כיום בשם השראה אלקטרומגנטית.

כמו כן, פארדיי גילה כי שינוי בשטף המגנטי גורם לשינוי בכוח האלקטרו-מניע.

חוק פארדיי

יהיה שדה מגנטי משתנה בזמן , ותהי לולאה מוליכה C המהווה שפה של משטח פתוח S.

כמו כן, שטף השדה המגנטי הינו . מתקיים:

חוק פארדיי בצורה אינטגרלית:

הוכחת חוק פארדיי

ניתן לקבל את חוק פארדיי כתוצאה מהכוח הפועל על מטען נע בשדה מגנטי.

נוכיח את החוק עבור מקרה פשוט, ונסיק לגבי הכלל.

א. מוט מוליך הנע בשדה מגנטי אחיד

מוט מוליך דק נע במהירות קבועה v, בכיוון הניצב לאורכו. במערכת בה המוט נע, S, ישנו במרחב שדה מגנטי אחיד בכיוון , ושדה חשמלי 0 (בהעדר המוט).

המוט מוליך ולכן הוא מכיל חלקיקים טעונים.

כל חלקיק טעון q שנע עם המוט נע בשדה המגנטי ועל כן פועל עליו כוח . מהשרטוט ניתן לראות כי כיוון הכוח הוא בכיוון החיובי של ציר x. כאשר המערכת במצב יציב, והמוט

נע בתנועה קצובה, הכוח מאוזן על ידי כוח שווה בגודלו והפוך בכיוונו. מקור כוח זה הוא השדה החשמלי בתוך המוט. מכאן, השדה החשמלי בכל נקודה בתור המוט הוא .

כעת נביט במערכת , שנעה ביחד עם המוט. במערכת שדה מגנטי ושדה חשמלי אחיד, שמתקבל על ידי . כאשר אנו מכניסים למערכת זו את המוט, אנו למעשה מציבים מוט מוליך נייח בשדה חשמלי אחיד. התפלגות המטען על פני המוט תשתנה באופן כזה, שהשדה בתוכו יהיה אפס. במקרה זה, כאשר המוט נח, השדה המגנטי איננו משפיע על התפלגות המטענים במוט.

עבור צופה במערכת S, בתוך המוט נוצר שדה חשמלי , המאזן בדיוק את הכוח המגנטי שמפעיל השדה המגנטי על כל מטען q הנע עם המוט. שדה זה הינו השדה החשמלי המושרה על ידי השדה המגנטי.

ב. מסגרת מוליכה הנעה בשדה מגנטי לא אחיד

מה יקרה במקרה הבא: מסגרת תיל מלבנית נעה במהירות קבועה בשדה אחיד .

במקרה זה, בצלעות נגדיות של המלבן יצטבר מטען מסויים, אך פרט לכך לא יקרה דבר. לפיכך, המקרה בו נעסוק יהיה מקרה של שדה קבוע אך לא אחיד במרחב. בכל נקודה במרחב גודל וכיוון השדה יהיו שונים.

במערכת S המסגרת נעה במהירות .

נניח כי ברגע מסוים , עוצמת השדה המגנטי בצד השמאלי של המסגרת הוא ובצד הימני של המסגרת . נסמן ב- את הכוח הפועל על מטען q שנע עם המסגרת. הכוח הינו פונקציה של מיקום המטען על המסגרת (מכיוון שהשדה המגנטי תלוי במיקום במרחב).

נרצה כעת לחשב את האינטגרל הקווי של סביב כל המסגרת. צלעות המסגרת המקבילות לכיוון התנועה אינן תורמות לאינטגרל.

נחשב לכן את האינטגרל על שתי הצלעות האחרות: .

נניח כי מטען q משלים הקפה אחת סבב המסגרת במשך זמן קצר, כך שמקומה של המסגרת אינו משתנה תוך כדי ההקפה במידה ניכרת. במצב זה, המשוואה מתארת את העבודה שמבצע הכוח בהסיעו את המטען q פעם אחת סביב אותה מסגרת. העבודה שמבצע כוח , ליחידת מטען, היא .

לגודל זה אנו קוראים כוח אלקטרומניע - כא"מ. סימונו של הכא"מ: . לכא"מ אותם הממדים כמו של הפוטנציאל החשמלי. במקרה שלנו נקבל:

נגדיר את הכא"מ כעבודה ליחידת מטען, הכרוכה בהסעת מטען סביב מעגל חשמלי. אם המעגל הינו מעגל חשמלי ממשי, שיש לו התנגדות R, אזי הכא"מ יגרום לזרם במעגל, על פי חוק אום .

הכוח האלקטרומניע קשור לקצב שינוי השטף המגנטי. כזכור, השטף המגנטי הוא אינטגרל המשטחי B על פני המשטח, אשר המסגרת היא השפה שלו. במשך זמן המסגרת עוברת מרחק . כתוצאה מכך משתנה השטף דרך המסגרת. בימין נוסף שטף בשיעור ובשמאל נגרע שטף בשיעור .

השינוי הכולל בשטף במשך הזמן הינו: .

מכאן נקבל את חוק פארדיי: .

נזכיר שוב שלמרות שהוכחנו רק מקרה פרטי, החוק נכון באופן כללי.

חוק לנץ

כיוון הזרם המושרה - חוק לנץ: הנטיה של מערכות היא להתנגד לשינויים, כלומר הזרם המושרה יוצר שטף מגנטי השואף לבטל את השינוי המקורי בשטף.

ניסוח נוסף: הזרם המושרה בלולאה נעה יוצר שדה מגנטי במגמה מנוגדת לשינוי בשדה המגנטי המושרה.

דוגמא

לולאה מוליכה מלבנית, בעלת אורכי צלעות נעה באיזור בו .

המהירות ההתחלתית של הלולאה: .

נרצה למצוא עבור את .

שטח הלולאה הינו , ולכן נוכל לבטא את הכא"מ המושרה: . הזרם המושרה בלולאה הינו: , כאשר R היא התנגדות הלולאה.

תזכורת: נביט בקטע תיל. אורך הקטע הוא . שטח החתך של התיל הוא , וצפיפות המטענים היא . באלמנט התיל: .

הכוח על צלע 1:
הכוח על צלע 2:

מופיע כוח שמנוגד לכיוון התנועה של הלולאה.

נשתמש בחוק השני של ניוטון, על מנת למצוא את המהירות.

זמן הרלקסציה:

הדרך שתעבור הלולאה מתחילת התנועה עד עצירתה:

חום ג'וואל שנוצר בלולאה:

הערות חשובות

הכוח האלקטרומניע תלוי רק בקצב שינוי שטף השדה המגנטי ולא באף גורם אחר.
השינוי בערך של בסביבה מסוימת קובע חד ערכית את הרוט של , אך אינו קובע את השדה בצורה חד ערכית. כדי למצוא את יש להוסיף בסופרפוזיציה כל שדה אלקטרוסטטי שעבורו .
השדה החשמלי הנוצר משינוי בשטף המגנטי הינו תמיד ניצב לשדה המגנטי מכיוון ש- הפוך בכיוונו מ- על פי חוק לנץ, וביצוע רוט על ווקטור מאונך לווקטור עצמו, ולכן השדה החשמלי יהיה ניצב ל-.