פיסיקה 2ממ

הרצאה 23 – גלים אלקטרומגנטיים, משוואות מקסוול בריק, משוואת הגלים הקלאסית, גלים במערכות מכאניות

גלים אלקטרומגנטיים

משוואות מקסוול בריק

משווואות מקסוול מובילות אל משוואת הגלים הקלאסית (בריק). בריק, מחוץ למקורות השדות השונים, מתקיים: . לפיכך, אנו יכולים לכתוב את משוואות מקסוול בריק בצורה הבאה:

כיצד יתכנו שדות חשמליים ומגנטיים ללא מקורות? התשובה: ישנם מקורות שדה, אולם אנו מתעלמים מהם, ומסתכלים בריק באיזור מחוץ למערכות שם מתקיים כי .

משוואת הגלים הקלאסית

אנו למעשה מחפשים את . לפתרון שנמצא נקרא גל. נגזור שוב את משוואות מקסוול:

נפתח את המכפלה הווקטורית ונקבל את משוואת הגלים הקלאסית עבור : 

נדגיש כי משוואה זו היא למעשה שלוש משוואות:

בצורה דומה נקבל את משוואת הגלים הקלאסית עבור : 

נעיר כי שילמנו מחיר מסוים כאשר השגנו את משוואות הגלים: ניתקנו את הקשר בין  כגלים.

נפתח כעת פיתוחים עבור גלים. רוב הפיתוחים ייעשו עבור גלים מכניים מכיוון שקל יותר להתרגל כך לנושא הגלים. נניח לאחר מכן שהתוצאות נכונות גם עבור גלים אלקטרומגנטיים.

גלים במערכות מכניות

גל זוהי הפרעה של תווך (מדיום) המקיימת את משוואת הגלים הקלאסית.

נוכל לדבר על הפרעות שונות: הפרעה סקלרית, הפרעה ווקטורית בתווך חד ממדי, הפרעה סקלרית בתווך תלת ממדי . בשם משדר, נכנה את הכוח שיוצר את ההפרעה הגלית.

כאשר נעסוק בגלים, נפריד בין בעיות על פי סוג התווך וסוג ההפרעה. נבחין כי תווך יכול להיות חד ממדי, בזמן שלהפרעה יהיה יותר ממימד אחד.

כאשר נעסוק בתווך חד ממדי, נקבע את ציר  להיות בכיוון התווך. (דוגמא לתווך חד ממדי היא קפיץ המחובר לקיר).

להפרעה הנמשכת זמן קצר בלבד נקרא פולס.

כאשר ההפרעה הינה בכיוון התקדמות התווך נקרא לה הפרעה אורכית.

כאשר ההפרעה הינה בניצב לכיוון התקדמות התווך נקרא לה הפרעה רוחבית.

יתכן גם שגל אחד יורכב גם מהפרעה אורכית וגם מהפרעה רוחבית.

משוואת הגלים הקלאסית לתווך חד ממדי והפרעה סקלרית

נבחר תווך המשתרע לאורך ציר z. כמו כן תהי הפרעה סקלרית .

נאמר שהפרעה היא גל אם היא מקיימת את המשוואה הבאה:

כאשר v זוהי מהירות הפאזה.

משוואה זו היא הצורה הפשוטה ביותר של משוואת הגלים הקלאסית (מכיון שאנו דנים בתווך חד ממדי, ובהפרעה סקלרית בלבד).

משוואת הגלים הקלאסית למיתר אינסופי ותנועה רוחבית בכיוון אחד

המיתר מתוח - במצב של שיווי משקל, על כל במיתר פועל אותו כוח בכיוונים הפוכים.

המתיחות היסודית היא . נניח שההפרעה ממצב שיווי משקל היא בסדר גודל קטן ביחס למיתר, כלומר, המיתר לא משתנה את אורכו בזמן התנועה. למיתר צפיפות מסה אחידה: .

קירוב: המתיחות לאורך כיוון  (על הקטע ) נשמרת והיא .

על אלמנט המיתר שאורכו  ומסתו  פועל כוח בכיוון רוחבי :

נשתמש בחוק השני של ניוטון:

ההפרעה שראינו היא למעשה הפרעה ווקטורית, אבל יש לה רק רכיב אחד, ולכן אנו מתייחסים אליה כאל הפרעה סקלרית.

פתרונות של משוואת הגלים הקלאסית

שני סוגים של פתרונות:

א. גל רץ (תווך אינסופי): נקבל פתרון מהצורה הבאה: , כאשר   = פאזה.

נוכיח כי פונקציה זו מהווה פתרון:

ומכאן  היא פתרון של משוואת הגלים.

בצורה דומה ניתן לומר כי גם  פונקצית גל.

פונקציה זו מתארת הפרעה שמתקדמת על ציר z במהירות שחושבה. זהו גל רץ.

דוגמא פרטית לגל רץ: גל הרמוני

גל הרמוני: ,

כאשר:

 (קבוע) - מספר הגל  (קבוע) - תדירות זוויתית A (קבוע) - אמפליטודה

זמן מחזור: תדירות: תדירות זוויתית:

אין צורך להוכיח ישירות כי הגל ההרמוני מקיים את משוואת הגלים, מכיוון שהוא מקרה פרטי של המשוואה שמצאנו קודם.

אורך הגל יוגדר להיות  וזהו המרחק בין כל שתי נקודות אקויולנטיות של הגל.

מחזוריות במקום () עם אורך גל :

מחזוריות בזמן נתונה על ידי:

תנאי הכרחי לקיומו של גל רץ: מערכת פתוחה.

הערות

• כל גל במערכת פתוחה הוא גל רץ.
• משוואת הגלים קושרת את המקום עם הזמן.