פיסיקה 2ממ

תרגול 12

משוואת הגלים

תהי הפונקציה . נאמר שפונקציה זו מקיימת את משוואת הגלים אם היא מקיימת את המשוואה הבאה: , כאשר  הוא קבוע.

משפט - תנאי מספיק לכך שפונקציה פותרת את משוואת הגלים

תהי הפונקציה  כך שמתקיים , כאשר  הם קבועים, אזי מתקיים:

 היא פתרון משוואת הגלים, וגם:

שאלה 1

א) אלו מן הפונקציות הבאות מתארת גל? קבע מהו כיוון ההתקדמות, ומהי מהירות הפאזה:

            1.

2.

            3.

ב) עבור הפונקציה  קבע מהו התנאי על

    כך ש- תתאר גל.

תשובה 1

א)

1. נתונה הפונקציה הבאה:

הביטוי  הוא מהצורה , ולכן פונקציה זו היא גל: .

, ואז . כיוון התקדמות הגל הוא .

2. נתונה הפונקציה הבאה:

פונקציה זו היא מהצורה , ולכן גם פונקציה זו מתארת גל.

3. נתונה הפונקציה הבאה: .

במקרה זה המקדם של t אינו קבוע, ולכן הפונקציה איננה מקיימת את המשפט. לכן, הדרך לגלות האם פונקציה זו היא גל או לא היא לגזור אותה ולהציב במשוואת הגלים. צריך להתקיים:

ולכן:

ומכאן נקבל:

הביטוי בסוגריים תלוי ב- וב-, ולכן  איננה מתארת גל.

ב)

שאלה 2

גל נתון על ידי החלק הממשי של .

א) מהו כיוון ההתקדמות של הגל? מהו אורך הגל?

הגל פוגע במישור ניצב לכיוון ההתקדמות  ומוחזר החזרה מלאה.

ב) מהי פונקצית הגל שמתקבל מסופרפוזיציה של הגל הפוגע והמוחזר?

ג) מהו אורך הגל?

ד) מהם המישורים עליהם מתאפסת פונקצית הגל לכל t? מהו המרחק בין שני מישורים עוקבים?

תשובה 2

א)

כיוון התקדמות הגל: , וזאת כי .

אורך הגל: .

ב)

כלל אצבע: גל הפוגע במשטח הופך פאזה.

ג)

אורך הגל איננו משתנה. .

ד)

ולכן כל המישורים עליהם מתאפסת הפונקציה מקיימים: .

המרחק בין שני מישורים עוקבים:

שאלה 3

נתונה פונקצית הגל  שהיא פתרון של משוואת הגלים  כאשר  נתון על ידי .

מהי מהירות הפאזה? מהי מהירות החבורה? מהי מהירות החבורה בגבול ?

תשובה 3

מהירות הפאזה נתונה על ידי . מהירות החבורה נתונה על ידי .

נציב את  במשוואת הגלים ונקבל:

כלומר:

מהירות החבורה:

מתקיים:  עבור .