הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

4.8.7. חלוקה

הגדרה

תהא plot:\[A\] קבוצה כלשהי. תתי קבוצות של plot:\[A\] לא ריקות, זרות הדדית שאיחודן הוא plot:\[A\] נקרא חלוקה

של plot:\[A\].

באופן פורמלי: קבוצה plot:\[\Pi \] היא חלוקה של קבוצה A אם מתקיימים התנאים הבאים:

א. אם כל איבר של plot:\[\Pi \] הוא תת קבוצה לא ריקה ב-A.

ב. בעבור כל plot:\[x \in A\] קיים בדיוק איבר אחד plot:\[S \in \Pi \] עבורו plot:\[x \in S\].

משפט

תהי plot:\[E\] רלצית שקילות מעל plot:\[A\]. קבוצת המנה  plot:\[{\raise0.7ex\hbox{$A$} \!\mathord{\left/  {\vphantom {A E}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$E$}}\] היא חלוקה של הקבוצה plot:\[A\].



הוכחה

על פי הגדרת מחלקת השקילות מתקיים כי plot:\[\left[ x \right] \in A\] לכל plot:\[x \in A\].

כלומר האיברים בקבוצת המנה הם תתי קבוצה של plot:\[A\].

  • לכל plot:\[x \in A\] מתקיים plot:\[\left[ x \right] \ne \phi \] ולכן האיברים ב-plot:\[{\raise0.7ex\hbox{$A$} \!\mathord{\left/  {\vphantom {A E}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$E$}}\] הם אינם קבוצות ריקות.
  • על פי למה 2 כל האיברים ב-plot:\[{\raise0.7ex\hbox{$A$} \!\mathord{\left/  {\vphantom {A E}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$E$}}\] הינם זרים הדדית.
  • על פי למה 3 איחוד האיברים בקבוצת המנה שווה ל-plot:\[A\].

מסקנה

כל יחס שקילות משרה חלוקה של plot:\[A\] לקבוצות לא ריקות זרות הדדית שאיחודן plot:\[A\], כאשר הקבוצות הינן מחלקות השקילות של היחס.

טענה

אם plot:\[\Pi \] היא חלוקה של קבוצה A אזי היחס הבא הוא יחס שקילות.

plot:\[E = \left\{ {\left\langle {x,y} \right\rangle |\left( {\exists S,S \in \Pi } \right),x \in S{\text{ and }}y \in S} \right\}\]

ומכאן: plot:\[{\raise0.7ex\hbox{$A$} \!\mathord{\left/  {\vphantom {A E}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$E$}} = \Pi \].

כל חלוקה של plot:\[A\] מגדירה באופן יחיד יחס שקילות, והקבוצות הזרות בחלוקה הן מחלקות השקילות של היחס.

תגיות המסמך:

לפרק הקודם4.8.6. למה 3
לפרק הבא4.8.8. דוגמאות
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד