תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

2.19. זוג סדור

נגדיר זוג סדור כשני איברים שהאחד נקבע כראשון והאחר כשני. כלומר אנו נותנים חשיבות לסדר של האיברים בזוג. איננו מגבילים את תוכן האיברים. יתכן שבזוג סדור האיברים יהיו זהים $plot:\[\left\langle {A,A} \right\rangle \]$ .

השוני בין זוג סדור לקבוצה:

בקבוצה אין משמעות לסדר: $plot:\[\left\{ {A,B} \right\}\]$ .
בקבוצה אין משמעות לחזרות: $plot:\[\left\{ {A,A} \right\} = \left\{ A \right\}\]$ .

הגדרה של זוג סדור $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle \]$ צריכה לקיים:

אם $plot:\[A \ne B\]$ אזי $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle \ne \left\langle {B,A} \right\rangle \]$ .
$plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle = \left\langle {A',B'} \right\rangle \]$ אמ"מ $plot:\[A = A',B = B'\]$ .

הצעה ראשונה להגדרה

נגדיר: $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle = \left\{ {A,\left\{ B \right\}} \right\}\]$ .

נראה כי ההגדרה אינה מספקת.

יהיו $plot:\[A = \left\{ 1 \right\},B = \left\{ 2 \right\}\]$ , אזי לפי ההגדרה שהצענו $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle = \left\{ {\left\{ 1 \right\},\left\{ {\left\{ 2 \right\}} \right\}} \right\}\]$ .

כעת נבחר $plot:\[A' = \left\{ {\left\{ 2 \right\}} \right\},B' = \left\{ 1 \right\}\]$ ואז יתקיים: $plot:\[\left\langle {A',B'} \right\rangle = \left\{ {\left\{ 1 \right\},\left\{ {\left\{ 2 \right\}} \right\}} \right\}\]$ .

ונקבל $plot:\[\left\langle {A',B'} \right\rangle = \left\langle {A,B} \right\rangle \]$ אבל $plot:\[A' \ne A,B' \ne B\]$ .

הצעה שניה להגדרה

נבנה בעזרת ההנחות את $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle \]$ ונראה כי ההגדרה עונה על הדרישות.

טענה: בהינתן $plot:\[A,B\]$ ניתן לבנות את $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle \]$ .

הוכחה:

מ- $plot:\[A,B\]$ ניתן על פי הנחה 2 לבנות את הקבוצה $plot:\[\left\{ {A,B} \right\}\]$ .
מ- $plot:\[A\]$ ניתן על פי הנחה 2 לבנות את הקבוצה $plot:\[\left\{ {\left\{ A \right\},\left\{ {A,B} \right\}} \right\}\]$ .

נטען: הזוג $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle = \left\{ {\left\{ A \right\},\left\{ {A,B} \right\}} \right\}\]$ עונה על הדרישה, כלומר $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle = \left\langle {A',B'} \right\rangle \]$ אמ"מ $plot:\[A = A',B = B'\]$ .

הוכחה:

כיוון $plot:\[ \Rightarrow \]$ : טריויאלי.

כיוון $plot:\[ \Leftarrow \]$ : נניח כי $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle = \left\langle {A',B'} \right\rangle \]$ ונראה $plot:\[A = A',B = B'\]$ .

$plot:\[\left\{ {\left\{ A \right\},\left\{ {A,B} \right\}} \right\} = \left\{ {\left\{ {A'} \right\},\left\{ {A',B'} \right\}} \right\}\]$

אפשרות אחת:

$plot:\[\begin{gathered} \left\{ A \right\} = \left\{ {A'} \right\} \Rightarrow A' = A \hfill \\ \left\{ {A,B} \right\} = \left\{ {A',B'} \right\} \Rightarrow B' = B \hfill \\ \end{gathered} \]$

אפשרות שניה:

$plot:\[\begin{gathered} \left\{ A \right\} = \left\{ {A',B'} \right\} \Rightarrow A = A' \hfill \\ \left\{ {A,B} \right\} = \left\{ {A'} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \]$

(בקבוצה שמכילה את $plot:\[A\]$ יש איבר אחד).

ולכן $plot:\[A = A'\]$ . באותו אופן מאחר ו- $plot:\[\left\{ {A,B} \right\} = \left\{ {A'} \right\}\]$ נקבל $plot:\[A = B\]$ ומכאן $plot:\[A = A',B = B'\]$ .

תכונות נלוות לזוג הסדור לפי ההגדרה שנתנו

בזוג סדור ישנם לכל היותר שני איברים. אם $plot:\[A = B\]$ אזי ב- $plot:\[\left\langle {A,B} \right\rangle \]$ יש איבר אחד.
$plot:\[A \notin \left\langle {A,B} \right\rangle ,B \notin \left\langle {A,B} \right\rangle \]$ .

שלשה סדורה

נגדיר שלשה סדורה בצורה הבאה: $plot:\[\left\langle {a,b,c} \right\rangle = \left\langle {\left\langle {a,b} \right\rangle ,c} \right\rangle \]$ .

לפי הגדרה זו, בשלשה הסדורה שני איברים לכל היותר.

n-יה סדורה

באופן דומה ניתן להגדיר n-יה סדורה $plot:\[\left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n}} \right\rangle \]$ .

$plot:\[\left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n}} \right\rangle = \left\langle {\left\langle {\left\langle {\left\langle {{a_1},{a_2}} \right\rangle ,{a_3}} \right\rangle ...} \right\rangle ,{a_n}} \right\rangle \]$

לפרק הקודם2.18. הקבוצה האוניברסאלית

לפרק הבא2.20. מכפלה קרטזית

מאת: סטודנטית

15/12/2020 19:15

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה

מאת: ילדה

17/4/2018 19:45

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין

מאת: אני

24/12/2017 13:48

תודה

מברוק! תודה

מאת: ברק

22/12/2017 18:24

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..

מאת: יואב

10/12/2017 22:33

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...

מאת: יואב

10/12/2017 22:32

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...

מאת: אמיר

11/1/2017 13:15

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..

מאת: רעות

26/11/2016 22:48

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)

מאת: עומר

1/6/2013 21:30

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...

מאת: אחד שלומד

8/3/2013 11:34

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.

מאת: אני

26/11/2011 12:01

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!

מאת: אני

20/11/2011 20:01

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!

מאת: אלעד

8/7/2011 20:08

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!

מאת: אולג

6/4/2010 21:54

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...

דיווח על הפרת זכויות יוצרים