2.16. קבוצת החזקה

תהא A קבוצה. קבוצת החזקה של A המסומנת על ידי P(A) או על ידי plot:\[{2^A}\] היא הקבוצה:

plot:\[P(A) = \{ B|B \subseteq A\} \]

כלומר P(A) מכילה (כאיברים) את כל תתי הקבוצות של A.

דוגמא

plot:\[\begin{gathered}
 
   A = \left\{ {1,2} \right\} \hfill
 \\
 
   P\left( A \right) = \left\{ {\phi
 ,\left\{ 1 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ {1,2} \right\}} \right\} \hfill
 \\ 
 
 \end{gathered} \]

גודלה של P(A) עבור קבוצה סופית A הינו plot:\[{2^{\left| A \right|}}\].

טענה

לכל 2 קבוצות A ו-B מתקיים: plot:\[P(A \cap B) = P(A) \cap P(B)\]

הוכחה:

נראה הכלה דו כיוונית:

א. plot:\[P(A \cap B) \subseteq P(A) \cap P(B)\]

ב. plot:\[P(A \cap B) \supseteq P(A) \cap P(B)\]

א.

plot:\[C \in P(A \cap B) \Rightarrow C \subseteq A \cap B \Rightarrow
 C \subseteq A{\text{ and }}C \subseteq B \Rightarrow \]הגדרת חזקהplot:\[ \Rightarrow C \in P(A){\text{ and }}C \in P(B) \Rightarrow \]הגדרת חיתוךplot:\[ \Rightarrow C \in P(A) \cap P(B)\]

ב. מתקבל מא' על ידי היפוך כיוון.



תכונות של קבוצת החזקה

יהיו plot:\[A,B\] קבוצות ותהי plot:\[X\] קבוצה לא ריקה של קבוצות, אזי:

1. plot:\[A \subseteq B\] גורר כי plot:\[P(A) \subseteq P(B)\].

2. plot:\[P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B)\]

3. plot:\[P\left( {A \cap B} \right) \subseteq P(A) \cap P(B)\]

4. plot:\[ \cup \left\{ {P(A) \in P(P(A)):A \in X} \right\} \subseteq P\left( { \cup
 X} \right)\]

5. plot:\[P\left( { \cap X} \right) \subseteq  \cap \left\{ {P(A) \in P(P(A)):A \in
 X} \right\}\]

מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד