הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

2.17. בניה פורמלית לקבוצות

נציג כעת כיצד מגדירים קבוצות וכיצד יוצרים למעשה את הקבוצות בהן אנו עוסקים.

הנחה 1: קיימת הקבוצה הריקה.

אבחנה: הקבוצה הריקה הינה יחידה.

הנחה 2: לכל שתי קבוצות plot:\[A,B\] קיימת קבוצה plot:\[C\] ש-plot:\[A,B\] הם האיברים היחידים שלה, כלומר מתקיים plot:\[C = \left\{ {A,B} \right\}\]. plot:\[C\] נקרא הזוג הלא סדור של plot:\[A,B\].

כעת ניתן להרכיב קבוצות חדשות: plot:\[\left\{ {\phi ,\phi } \right\} = \left\{ \phi  \right\}\] ובעזרתה את הקבוצות: plot:\[\left\{ {\phi ,\left\{ \phi  \right\}} \right\}\] ו-plot:\[\left\{ {\left\{ \phi  \right\}} \right\}\].

האם ניתן לקבל את הקבוצה plot:\[\left\{ {\phi ,\left\{ \phi  \right\},\left\{ {\left\{ \phi  \right\}} \right\}} \right\}\] ?  כרגע לא, תחת ההנחות הקיימות.

הנחה 3: כלל האיחוד: לכל שתי קבוצות plot:\[A,B\] קיימת קבוצה שאיבריה הם כל האיברים הנמצאים ב-plot:\[A\] או ב-plot:\[B\], כלומר plot:\[C = A \cup B\].

כרגע, לכל plot:\[{A_1},...,{A_n}\] ניתן לקבל את הקבוצה plot:\[\left\{ {{A_1},...,{A_n}} \right\}\].



הנחה 4: עקרון התכונה: לכל קבוצה plot:\[A\] ולכל תכונה plot:\[\varphi \] של האיברים ב-plot:\[A\], קיימת קבוצה plot:\[B\] המכילה את איברי את המקיימים את plot:\[\varphi \] (ובדיוק אותם).

דוגמאות:

תהי הקבוצה plot:\[A\] ונבחר את התכונה plot:\[a \in C\]. נוכל להגדיר את הקבוצה plot:\[B = \left\{ {a \in A|a \in C} \right\}\],

ואז מתקיים plot:\[B = A \cap C\].

תהי הקבוצה plot:\[A\] ונבחר את התכונה plot:\[a \notin C\]. נוכל להגדיר את הקבוצה plot:\[B = \left\{ {a \in A|a \notin C} \right\}\],

ואז מתקיים plot:\[B = A - C\].

הנחה 5: כלל החזקה: לכל קבוצה plot:\[A\], קיימת קבוצה plot:\[P\left( A \right)\] המכילה את כל תתי הקבוצות של plot:\[A\].

חשוב לשים לב שזהו איננו מקרה פרטי של הנחה 4, כי מדובר בקבוצה של כל תתי הקבוצות של plot:\[A\] ולא בקבוצה של איברי plot:\[A\].

דוגמא

בהנתן קבוצה plot:\[A\], הוכיחו שקיימת הקבוצה plot:\[B = \left\{ {S|S \subseteq A} \right\}\] וגם ב-plot:\[S\] ישנם שלושה איברים.

פתרון: בהינתן קבוצה plot:\[A\], על פי הנחה 5, קיימת plot:\[P(A)\]. נשתמש בעקרון התכונה, עם plot:\[\left| S \right| = 3\] על הקבוצה plot:\[P\left( A \right)\] ונקבל: plot:\[B = \left\{ {\left. {S \in P\left( A \right)} \right|\left| S \right| = 3} \right\}\].



תגיות המסמך:

לפרק הקודם2.16. קבוצת החזקה
לפרק הבא2.18. הקבוצה האוניברסאלית
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד