נושא: עזרה בתרגיל

נשלח בתאריך: 28 March 2007 בשעה 14:16 | IP רשוּם

צריך להוכיח שאם נבחר 5 מספרים עוקבים כשלהם אז אחד מהם יהיה זר לכל השאר ?!

איך עושים זאת ואם אפשר אז לצרף הסבר !!!!

יום טוב !!!!!!!!!

נשלח בתאריך: 28 March 2007 בשעה 20:42 | IP רשוּם

הניסוח שלי יהיה קצת אינטואטיבי אבל אני חושב שאפשר אם קצת מאמץ לנסח את זה באופן יותר פורמלי:
מכיוון שיש 5 איברים יש שם מקסימום 3 איברים שמתחלקים ב-2 , מקסימום 2 איברים שמתחלקים ב-3 ובכל שאר המספרים יש רק איבר אחד מקסימום
(על מנת להוכיח את זה אפשר להשתמש בחשבון מודולרי)

אז המקרה האופטומלי הוא שיש 3 איברים זוגיים:
A A+2 A+4
ו - 2 איברים שמתחלקים ב-2 אולם אם זה
A3 אז מי שמתחלק ב-3 זה A ו A+1  לא יכול להתחלק ב-3
ואם זה A+1 אז A+4 הוא השני שמתחלק ב-3 וכמובן ש A+3 לא יכול להתחלק...
ולכן לפחות אחד מהאיברים הוא זר לכל השאר...

נשלח בתאריך: 28 March 2007 בשעה 20:48 | IP רשוּם

לא כל כך הבנתי אבל זה קשור להתחלקות באמת... ונראה לי לעקרון הסדר הטוב...

נשלח בתאריך: 28 March 2007 בשעה 21:12 | IP רשוּם

קשה לי לחשוב איך בדיוק זה קשור לעיקרון הסדר הטוב..
בכל אופן אני אנסה להסביר:
על מנת ששני מספרים יתחלקו ב-4 אז ההפרש בינהם חייב להיות 4 מספרים זאת אומרת שאם A מתחלק ב-4 אז המספר הבא שיתחלק ב-4 הוא A+4
ולכן ל-5 מספרים עוקבים אין מחלק משותף מקסימלי גדול מ-4.
ומתקימים הדברים הבאים:

ל-5 מספרים עוקבים יש מקסימום -3 מספרים שמתחלקים  ב-2
ל-5 מספרים עוקבים יש מקסימום 2 מספרים שמתחלקים ב-3 וב-4

עכשיו מבין 5 המספרים שלא מתחלקים ב-2 אז ההפרש שלהם הוא 2 (אלו המספרים האי זוגיים) ומכיוון שההפרש בינהם הוא 2 אז שניהם לא יכולים להתחלק ב-3...

ולכן חייב להיות לפחות מספר אחד שלא מתחלק לא ב-3 ולא ב-2 (וכמובן שלא ב-4)
ואם הוא לא מתחלק לא ב-3 לא ב-2 ולא ב-4 אז לא יהיה לא מחלק משותף עם שאר המספרים (כי כפי שהוכחנו מקודם ל-5 מספרים אין מחלק משותף מקסימלי גדול מ-4)
ולכן הוא יהיה זר לאיברי הסדרה...
שוב אם אתה רוצה את זה קצת יותר פורמלי אז תעשה משחק קטן עם חשבון מודולרי...

נשלח בתאריך: 28 March 2007 בשעה 21:18 | IP רשוּם

אני רק אסביר קצת יותר על הקטע של המחלק המשותף המקסימלי שאינו גדול מ-4
אם מספר A מתחלק ב-5 אז המספר הבא שיחולק ב-5 הוא A+5  (וכך הלאה כפי שהוסבר לעיל)
וזו הסיבה שאם יש N איברים בקבוצה אז המחלק המשותף המקסימלי בין שני איברים בקבוצה הוא N-1 כי אם המחלק המשותף יותר גדול יש רק איבר אחד בקבוצה שיכול להתחלק בו...
וזו הסיבה למה בקבוצה בת 5 איברים המחלק המשותף המקסימלי הוא מקסימום 4...

נשלח בתאריך: 28 March 2007 בשעה 23:06 | IP רשוּם

תודה איש יקר ולילה טוב...