מספרים מרוכבים – מתמטיקה קלה
הקדמה
אלו שמתכנתים או פעם תכנתו בpython בטח שמעו על המושג מספרים מרוכבים או באנגלית complex numbers
(כן זה מרוכבים ולא מורכבים כמו שרוב האנשים חושבים...כי ככה הוחלט ואין לי מושג למה).
כתבתי את המדריך הזה לאותם אנשים שרצו לדעת מה זה באמת מספרים מרוכבים וקצת להשתמש בהם.
בנוסף לזה משתמשים במספרים מרוכבים כשלומדים הנדסת חשמל ואלקטרוניקה באוניברסיטה אז כל מי שמתעניין בנושא הנה לכם קצת חומר תיאורטי.
ההגדרה של מספרים מרוכבים היא כזאת : מספר המורכב ממספר ממשי וממספר מדומה.
מספר ממשי : כל מספר : שלילי, חיובי, זוגי, אי זוגי או עם נקודה צפה. דוגמאות :
1,2,-3,-3.42342322...,232,-23.5,10/42
מספר מדומה : מספר מדומה הוא מספר מסוים שהוא כפול שורש מינוס אחד :
(-1)^0.5
או גם המספרים הבאים :
3*(-1)^0.5,43*(-1)^0.5,2.3422*(-1)^0.5
אני מניח ששמת לב כי לכל המספרים המדומים יש משהו משותף :
כולם כפולים של שורש מינוס אחד. לכן כדי שיהיה קל יותר לנו אנחנו מסמנים את שורש מינוס אחד כi או כj
(בדרך כלל משתמשים בi המתמטיקאים ובj משתמשים הפיזיקאים והמהנדסים). אני השתמש בj כדי לסמן את שורש מינוס אחד.
כלומר מספר מורכב הוא מספר כזה :
z=x+yj
כלומר z הוא המספר המורכב כאשר הוא מורכב מהמספר x שמייצג את החלק הממשי ואת yj שמייצגים את החלק המדומה. שים לב כי y וx הם שווים למספרים ממשיים. לדוגמא :
z_1=12.5-23.2j
z_1 הוא מספר מורכב כי יש לו חלק ממשי
12.5
ויש לו חלק מדומה
-23.2j
עד כאן מובן? אם לא אני מציע לכם לקרוא שוב ולנסות להבין. אם כן אז יאללה נעבור לפרק הבא.
הערה קטנטונת ואז דבהההההההה : מספרים ממשיים נמצאים בשדה (שדה זה מקום שלכל איבריו יענו יש כללים מסוימים שמקשרים אותם) של מספרים מרוכבים למה ככה :
Z=2=2+0*j
הבנתם – אם לא אז הכוונה היא שבמספר ממשי יש חלק ממשי והחלק המדומה הוא j כפול אפס
ולכן לא מחשיבים את החלק המדומה במספר הכללי אבל אם התבלבלתם אז תעזבו סה"כ סתם הערה שהקרצתי.
פעולות חשבון במספרים מרוכבים
חיבור של מספרים מרוכבים :
z_1=x+yj
z_2=m+pj
z_2+z_1=x+yj+m+pj=(x+m)+(p+y)j
כלומר זה מעין כינוס איברים לא משהו בעייתי.
חיסור של מספרים מרוכבים :
z_1=x+yj
z_2=m+pj
z_2-z_1=x+yj-(m+pj)=(x-m)+(y-p)j
גם פה יש אותו רעיון של החיבור. מתמטיקה פשוטה עם קונספט לא בעייתי.
כפל של מספרים מרוכבים :
z_1=x+yj
z_2=m+pj
z_1*z_2=(x+yj)(m+pj)=x*m+x*pj+m*yj-p*y=(x*m-p*y)+(x*p+m*y)j
אוקיי מה שקרה פה הוא די פשוט אנחנו עושים כפל ומה שקורה זה שj הוא שורש מינוס אחד ולכן שורש מינוס אחד כפול שורש מינוס אחד הוא שורש מינוס אחד בריבוע כלומר :
(-1)^0.5*(-1)^0.5=(-1)^1=-1
חוץ מזה לא צריך לדעת שום דבר מיוחד...סבבה הכל מובן? אם כן נעבור לחילוק :
z_1=x+yj
z_2=m+pj
z_2/z_1=(m+pj)/(x+yj)=(m+pj)*(x-yj)/(x+yj)*(x-yj)
כאשר אנחנו מחלקים במספר מרוכב כלומר כאשר מספר מרוכב הוא במכנה אז אנחנו מכפילים את המכנה ואת המונה בצמוד של המספר המרוכב שבמכנה. אוקיי אני יודע...
אתם לא יודעים מה זה מספר צמוד. נגדיר מספר מרוכב z :
z=x+yj
אז הצמוד שלו הוא :
z^=x-yj
מסמנים מספר צמוד כz גג (^) לא זה לא בחזקה כרגע אני השתמש בזה כגג אם יהיה בחזקה יהיה אחר כך מספר אחריו. טוב עכשיו נמשיך.
אז מספר צמוד הוא מספר שהחלק המדומה שלו הוא כפול מינוס אחד אם המספר המרוכב שלי הוא :
3-2j
אז המספר הצמוד שלו הוא :
3+2j
ואם המספר המרוכב שלי הוא :
4.5+343j
אז המספר הצמוד שלו הוא :
4.5-343j
מובן? סבבה אני שמח כי אם לא תקראו שוב...חחחחח...אוהב אתכם אנשים אבל לא כמו שהומואים אוהבים כי אני הומופוב.
שורש של מספר מרוכב
כדי להוציא שורש של מספר מרוכב נגיד :
2+3j
כלומר שורש של המספר המרוכב הזה הוא :
(2+3j)^0.5
זאת אומרת שמספר מרוכב זה שווה לx+yj :
(2+3j)^0.5=x+yj
אם נעלה את המספר בריבוע כדי להוריד את השורש נקבל את המשוואה הבאה :
2+3j=x^2+2xyj-y^2 -> 2+3j=(x^2-y^2)+xyj
מכאן יוצאות לנו שני משוואות אחת היא :
3=2xy
והשניה היא :
2=x^2-y^2
אז מה יש לנו כאן : שני נעלמים ושני משוואות זאת אומרת שלא תהיה לנו בעיה למצוא למה x וy שווים. הנה הפתרון לתרגיל :
y=3/2x
נציב את הy שמצאנו במשוואה השניה שמצאנו(נו זאת עם האיקס בריבוע והואי בריבוע) ונקבל את זה :
2=x^2-9/4x^2 -> 6x^2=4x^4-9 -> 4x^2-6x^2-9=0
כדי למצוא את הx אנו נשתמש בנוסחת השורשים שלמדנו בכיתה ט(אני מקווה שאתם יודעים אותה או בכלל זוכרים את הנוסחה).
[6+-(6^2+4*4*9)^0.5]/8 ->
מכאן אני מקבל שתי תשובות :
(x_1)^2=2.42 -> x_1=1.557, x_1=-1.557
(x_2)^2=-0.92 -> !!!!
אנחנו מקבלים תשובה אחת חיובית ותשובה אחרת שלילית. לא משנה מה אנחנו בוחרים את התשובה החיובית
(ככה זה לפי מה שמלמדים בתיכון..אז אל תתעצבנו עלי).
עכשיו מה שאנחנו מקבלים מהתשובה החיובית היא תשובה שורש שלה כשהיא חיובית ושורש אחר שלה כשהיא שלילית זאת מפני שבריבוע יכול להתקבל אותה תוצאה
אם היא חיובית או שלילית ובמקרה הזה שניהן נכונות. אחרי שמצאנו את הx אנחנו מציבים אותם בנוסחה הראשונה :
y=3/2x
ואז מקבלים את הy. כלומר
y_positive=3/2*1.577=0.95
y_negative=-0.95
אז יש לנו שתי מספרים מרוכבים שיוצאים מהשורש של המספר המורכב :
z_1=1.557+0.95j
z_2=-1.557-0.95j
מגניב לא? סבבה אני מקווה שנהניתם מהמדריך...אז קפיש? כן יופי נהדר.
כל הזכויות שמורות לP[O]D אם משהו לא מובן או סתם רוצים לתת לי תגובות האי מיילpodack@hotmail.com.
שלכם P[O]D.